理論電磁気学 演習問題

理論電磁気学の演習問題といてるけど，難しくてなかなか進まない．
P.62(8)
P.81(6)の後半
がわからないー．

そして
P.81(5)
は合っている自信がないー

つらい
だれか教えて

ベクトル解析の公式の直感的導出

公式

の感覚的な導出



演算子のナブラがベクトルのような性質をもっていることを使います．

ナブラの部分がベクトルのとき

が成り立ちます．（ベクトル三重積）

また微分については

のような性質があるので，この二つをナブラは持っていると考えれば上の公式をつくることができる．

熱伝導方程式

固体状態の物質中にある閉曲面を考える．
この閉曲面の内部の熱量の時間変化は

と表すことができる．
熱量の変化は、この閉曲面に入り込む熱流の合計と化学反応などにより生じた熱量の合計であるので

となる．qは熱流で，Qが生じた熱量である．ベクトル解析を用いれば右辺第二項は体積積分に直すことができ、さらにフーリエの法則を用いれば熱伝導の式を得る．

理論電磁気学 砂川 P.54 例題

例題で積分範囲が

となっている理由について少し’あれ’と思ったので書いておきます．
結果からいうと電子を古典的小帯電体球と近似していることからきています．
古典的小帯電体球の場合，電荷はすべて球の表面上に等密度で分布します．このことから内部には電場は生じないので（内部では電場は打ち消しあうことが積分すれば簡単に示せます．）積分範囲は上のようになります．



砂川の電磁気学を読んでいたらPoyntingベクトルが出てきたけどPoyntingってなんだって思ったら人の名前だった．そのあとたまたま久保の熱力学読んでたら’Gibbs-Poyntingの式’がでてきた．

冗長性：必要最小限のものに加えて余分な重複がある場合

Maxwell-Boltzmanの分布則

系の中にある分子N個のうち速度

をもつ分子の確率密度関数を

とする．各方向の速度成分にかたよりはない（等方性）ことから

とおける仮定する．この関数をみると和が積になっていることから

と予想できる．ここでマイナス符号はｖｘ無限で密度関数は収束しなければいけないことより予想できる．Cは積分定数．この予想より確率密度関数は

となる．この系の中にある分子数はNであることから積分定数は以下のように求まる．（ガウス積分を用いる．）

次にαを求めるためにこの系のエネルギーの期待値が気体分子運動論より求まるエネルギー

と一致することを要求すると

となり，極座標に変形すると左辺は

となる．これよりαが求まる．

なお，ここの計算ではガウス積分の結果を係数で微分する以下の公式を用いる．

これをαで両辺微分して

以上で分布がもとまった．