流体力学（運動量保存則 Lagrange）

前回の
http://physics-japan.blogspot.com/2012/01/blog-post_1159.html
では運動量保存則をEuler的な見方で導いたけれど，Lagrange的にはどうなるんだろう．

これがうまくできない．
とりあえずは，なんとなく感覚的にやってみた．
正しいのかどうかはなぞ．
でも結果はどうやら正しいらしい．（Eulerと同じ結果になる．）


非圧縮性かつ粘性無視．

ある流体粒子の存在する範囲をVとする．この領域Vは時間と位置の関数である．
よって領域Vでの運動量の変化は

である．
この運動量の変化はこの流体に働く力に等しいので

左辺の全微分は，Vが時間と位置の関数であることより

のようにかける．

ここで領域Vを上図のように設定する．もちろんx,y,zはtの関数．
（ここが絶対おかしい．時間経過とともに立方体じゃなりそうだし，すべてが気持ち悪い．）

vxがxとtのみの関数だとすれば
（なんだこの怪しい仮定は・・・．でもこうしないとうまくいかない．）

となり，同様にy，zについても計算すれば

とかけそう．
総和規約ね．
（ここも適当．なんか今ごろになって記事になんてするんじゃなかったとおもいはじめた．けど数式作るの大変だったからのせちゃう！）



■おまけ
数式書くのは大変だぁ！
\frac{ d}{dt}\int\mspace{-11mu}\int\mspace{-11mu}\int_{V} \rho \bm v \mspace{2mu}{\rm d}V
=
\int\mspace{-11mu}\int\mspace{-11mu}\int_{V} \bm K \mspace{2mu}{\rm d}V
-
\int\mspace{-11mu}\int_{S} p\bm n \mspace{2mu}{\rm d}S