ひずみエネルギー （弾性体）

  体積力をX，表面力をX' なる力が働いて金属が弾性変形したとする．このとき，金属は２つの外力により仕事をされる．この仕事がすべてひずみエネルギーに変わったとするとき（ひずみは力学ではバネの弾性エネルギーに当たる．弾性エネルギーを思い出せばイメージしやすいだろう．）ひずみエネルギーdUは，金属のされた仕事Wに等しいので

とかける．熱力学第一法則を思い出せば，dUは断熱過程での内部エネルギーに等しいことがわかる．このような理由からひずみエネルギーをdUとおいた．

  さて，仕事Wを弾性力学の知識を使い，応力とひずみで表してみよう．そのためにまず，２つの力によって微小な変位が生じたときに金属がされる仕事δWを求め，つぎにその仕事δWを積分し，金属がされる仕事を求める．金属がされた仕事は体積力がした仕事と表面力がした仕事の合計であるので，微小変位をδuとして

と表せる．ここで平衡方程式より

であり，Pを応力テンソル（応力テンソルはほとんどの場合，対称テンソル．）とすると表面力X' は，

である．それぞれ代入し，表面力についてはPが対称テンソルであることより

と変形できるので（応力の定義より引っ張りが正であること，表面での表面力と応力のつりあいを考えれば上の符号になることがわかる．この説明は正しいかわからない．ややこしい．），ガウスの発散定理より体積積分に直せば，

となる．ε，τは垂直ひずみとせん断ひずみである．弾性変形かつ線形域の場合，ヤングの法則σ=Eεが成り立つので，

である．よって

dU

である．

  なんか，ノリで

弾性力学  村上 敬宜

を購入してしまったのだけれど，この本でのひずみの導出(P.89)がいまいちわからない．なんで

となるの？ここ以外はまぁわかるんだけど．うーん．

になる気がするんだよなぁ．でもこれじゃあうまくいかない．わかる人は教えてくださると助かります．