衝撃荷重 はり

  とりあえず答えはでたけどうーん...って感じの問題．

上図のような長さ l (エル) の両端単純支持はりの中央部に荷重Wの錘が距離 h の高さから自由落下して衝突する場合について考える．このときはりの中央でのひずみ δ はどのようになるだろうか．仮定として錘のポテンシャルエネルギーはすべて弾性ひずみエネルギーに変わるものとする．

  まずエネルギーの保存を考えると，錘のポテンシャルエネルギーは弾性ひずみエネルギーに変わるので，

とかける．ここでkは定数で

を満たす．ただしδsは静かに荷重Wをかけた場合の中央でのひずみである．以上２つの式はたわみは荷重に比例するという仮定よりきている．仮にδsが求まれば，k がわかり，δを求めることができることがわかるだろう．

  δs は以下のように求めることができる．

  

たわみを求める式に代入して

二階積分し,境界条件

δ(0)=0

dδ(l/2)/dx=0

より

とわかる．これよりkは

とわかる．よってエネルギーの保存の式に代入してδについての二次方程式をとけば

とわかる．

  この結果から上から落としたときのほうが中央のたわみが大きくなることがわかる．まぁ感覚的には当たり前．でもこのときって中央での最大応力σはどうなっているんだろう．絶対静かに荷重をかけたときよりも大きくなるはずだ．

  うまくいえないけど，たわみが δ になるように徐々に力をかけたときと同じになりそう．δになったときの荷重をW ' とすると

をみたす．これよりσを求めると

となる．