n次元における球もどきの体積

大学一年のときに微積分の授業のプリントにのっていた問題．基底変換が好きだったから，がんばって解いたなー．今日部屋の整理してたら解いた紙がでてきて，もうすててしまいたいと思う半面，なんかもったいないと思ってしまう．だからここに書いてすてることにした．

n次元における球（？）の定義は，ある点から等距離の点の集合であるらしい（ちがうかも．）．とりあえず，半径aの球？の体積は

とかける．上では極座標変換を行った．領域Dは

あとは上のヤコビアンを計算すればいい．ヤコビアンの計算が面倒で，そしてなにより数式をブログにのっけるのが一番大変なので，どう計算するかだけ書いときます．

行列をかく．
一行目のcosφ/sinφ倍を2行目に加える．
n行n列からn-1行n-a列におとす．
一行目のsinθ_{n-2}/cos_{n-2}倍を2行目に加える．

n-1行n-1列からn-2行n-2列におとす．
・・・

とどんどん行列式をおとしていきます．２行２列にするのが目的です．上をみれば法則がわかるので．（証明は帰納法かな）結局

となることがわかります．
あとはこれをn重積分すればよい！
まぁrとφの積分はたやすいから先にやってしまうと

sinの関数の形を考えれば

であるから

ベータ関数を用いて

さらにガンマ関数で表すと

とわかる．

式つくるのすげえ大変だった．