で出てきた泡の振動の方程式．当時から気になっていて導出を数回試みるもうまくいかなかった．ちょうど数値シュミレーションでRunge-Kuttaを使った課題を提出しなければいけないからこいつをネタとしよう，と思って導出を調べてみた．調べてわかったことをここにまとめておこう．
（参考文献 http://resource.isvr.soton.ac.uk/staff/pubs/PubPDFs/Pub9182.pdf
よりだいぶわかりやすくまとめたつもりです．）
Rayleigh-Plesset equation
を導出する．
上図のような図を考える．（λは最終的に無限にぶっとばす．）
仮定は 非圧縮，非粘性，重力無視 とする．
流体のもつエネルギーをΦKEとすると，ΦKEの時間変化は単位時間に圧力のする仕事に等しい．
つまり
となる．
pはS上での圧力，
Sは閉曲面，気泡の壁と流体のはじ
vはSでの流体の速度
気泡の壁が動いたとき，中心からの距離 r での流体の速度 u は 連続の式
より
とわかる．任意の場所での流体の速度がわかったので，流体のもつエネルギーは
となる．近似ではλ>>Rという事実を用いた．時間で微分すれば（下の式は一項目が間違っています．Rdotの三乗です．hogeさんにご指摘いただきました．）
次に気泡の中の圧力をpg，（gはgasのg），中心からの距離λでの圧力をP∞とすると，
単位時間あたりに圧力のする仕事は
とわかる．ここで連続の式より
であるので
とわかるので
以上より
は
とかける．
気泡中の気体が等温変化する場合
であるので，はじめの気泡の半径をR0，圧力をp0とすると
となる．
おわり
いやー，自分で導出しようとしたときは泡の極近傍の流体についての運動方程式ばっかり考えてた．そっかー流体全部に注目すればよかったのかあ．残念．
rayleigh-plessetでググってたどり着きました．
返信削除導出とても参考になりました．
エネルギー式の微分のところ 「・・・となる．近似ではλ>>R・・・」の次の行で
右辺第一項のRドットが２乗になっていますが，多分３乗が正しいと思います．
お邪魔しました．m(_ _)m
ひさしぶりにログインしたらコメントがついていて，うれしいです．
返信削除おっしゃる通りですね！よくお気づきになられました．ご指摘ありがとうございます．