Lagrangeの方程式の導出

D'Alembertの原理からLagrangeの方程式を導出してみる．（参考文献 古典力学 Goldstein）


D'Alembertの原理 (拘束力による仮想仕事が0になるような系) は

と表される．まず仮想変位を一次独立な一般化座標に書き換える．（一次独立なら係数０とできる．）一般化座標をqとすると，

であるので，仮想変位は

となる．仮想変位の定義よりδtはでてこない．（仮想変位の定義：ある与えられた瞬間ｔにおいて系に加えられている力と拘束に矛盾しないような任意の無限小の座標の変化）

これよりD'Alembertの原理の一項目は

となる．ここでQは一般化力という．次元は一般化座標の選び方によって様々となる．

二項目は

だけど，ごちゃごちゃしてるし，速度で表してあげたい．以下のように変形していく．

あとはrの偏微分のところだけ．

という関係を代入すれば，二項目は

となり，これらを代入すると（系のエネルギーT=∑1/2mv^2とする．）
D'Alembertの原理は

となり，力があるスカラーポテンシャル関数Vから導出できるときは・・・（力つきた．）



ラグランジュの方程式が導出される．








数式書くの大変ー．
\sum^{}_{i }m_i\ddot{\bm r_i}\cdot
\frac{\partial\bm r_i}{\partial q_j}=\sum^{}_{i }
\bigr[
\frac{d}{dt}\Bigr(m_i\dot{\bm r_i}\cdot
\frac{\partial\bm r_i}{\partial q_j}\Bigl)-m_i\dot{\bm r_i}\cdot
\frac{d}{dt}\Bigr(\frac{\partial\bm r_i}{\partial q_j}\Bigl)
\bigl]